OpenAI ha annunciato che un’intelligenza artificiale avrebbe risolto uno dei sette “Problemi del Millennio” del Clay Mathematics Institute, quelli per cui è in palio un milione di dollari ciascuno (di cui altri cinque sono ancora aperti). Stiamo parlando del problema delle equazioni di Navier-Stokes, che risalgono all’Ottocento, ai lavori di Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes, e applicano ai fluidi la seconda legge di Newton, F = m · a, trattandoli come un mezzo continuo invece che come un insieme di molecole.
Queste equazioni si usano per progettare aerei, fare previsioni meteo, studiare il flusso del sangue, ecc. Da due secoli i matematici si chiedono se funzionino sempre o se, in certe condizioni, producano risultati assurdi, impossibili in un fluido reale (in gergo si dice che le equazioni “esplodono”, blow up). Più precisamente, ci si domanda se un fluido che parte da un moto liscio e regolare possa sviluppare in un tempo finito una “singolarità”, cioè un punto in cui la velocità cresce senza limite (e questo nonostante la viscosità, che di solito tende a smorzare il moto). Siccome un fluido reale non può muoversi a velocità infinita, una singolarità segnerebbe il punto in cui le equazioni smettono di descrivere la realtà.
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Il risultato annunciato sarebbe proprio questo: le equazioni, così come sono formulate, possono esplodere, quindi sono “fondamentalmente difettose”. La soluzione trovata è un vortice che si avvita verso l’interno e si allunga sempre di più, “come uno spaghetto”, con velocità che divergono mentre l’energia resta finita (come richiedono le leggi della fisica). Nella formulazione ufficiale del Clay Institute, la dimostrazione si riferice agli enunciati “C” e “D”, cioè quelli che corrispondono a una confutazione. Qui l’annuncio di OpenAI, con l’articolo completo di 166 pagine e la verifica in Lean (il linguaggio formale che permette a un computer di controllare ogni passaggio logico). Se confermato, questo sarebbe di gran lunga il risultato matematico più importante dimostrato finora da una intelligenza artificiale. Charles Fefferman, il matematico di Princeton che ha scritto per il Clay Institute la descrizione ufficiale del problema, si è detto “entusiasta”, ma ha indicato subito chi sono per lui i veri eroi della storia: due matematici spagnoli di cui parleremo tra poco. OpenAI, da parte sua, ha dichiarato di non voler reclamare il premio.
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Come ha fatto OpenAI? Usando un sistema di agenti coordinati, mossi da un modello interno “significativamente più capace di GPT-6 Astra”, in addestramento dal 28 agosto e ancora in miglioramento. Il lavoro sarebbe partito martedì 1° settembre, dopo che in azienda erano arrivate voci secondo cui due Problemi del Millennio erano stati risolti. Gli agenti sono stati allora lanciati su tutti i Problemi del Millennio aperti e su alcuni problemi “più facili”: tra questi, un centinaio di agenti, in circa 50 ore, ha risolto il problema della regolarità per le equazioni di Eulero (senza forza esterna). A quel punto tutte le risorse sono state spostate sul problema Navier-Stokes. Il gruppo che ha trovato la soluzione era composto da circa 10.000 copie del modello che lavoravano in parallelo, scambiandosi messaggi e risultati parziali come una squadra di ricercatori. La dimostrazione è arrivata sabato 5 settembre, dopo circa 88 ore di lavoro continuo. A quel punto, questa è stata tradotta in Lean e verificata, con un lavoro di 17 ore affidato a un altro modello, GPT-6 Astra. In tutto, gli agenti si sono scambiati 2,7 milioni di messaggi e hanno prodotto circa 130 miliardi di token. Sébastien Bubeck, che guida il team di matematica di OpenAI, ha stimato il costo computazionale in diversi milioni di dollari.
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Il metodo, come si diceva, nasce dal lavoro di due matematici spagnoli, Diego Córdoba (ICMAT, Madrid) e Luis Martínez-Zoroa (CUNEF University, Madrid), che hanno notato che nella formulazione del problema c’è un termine che quasi tutti gli esperti trascurano o omettono, dandolo per irrilevante. I due scienziati hanno invece intuito che si potessero “rompere” le equazioni agendo proprio su quel termine, e hanno chiamato la loro tecnica forcing (forzamento).
Il termine in questione, che nella formulazione del Clay Institute c’è ma che quasi tutti omettono perché si riteneva ininfluente, è la forza esterna che mette in moto il fluido, che può essere la gravità, oppure un’elica: il problema, così come è posto dal Clay Institute, chiede cosa succeda nel caso in cui questa forza sia matematicamente “liscia”, regolare, e non un artificio costruito apposta per far impazzire le equazioni.
La tecnica di Córdoba e Martínez-Zoroa, sviluppata nella tesi di dottorato di quest’ultimo nel 2021 (con Córdoba come relatore), è puramente analitica (senza computer) cosa insolita in un campo in cui da anni si lavora soprattutto con simulazioni numeriche. In sintesi, i due hanno costruito una sequenza infinita di “strati”, ciascuno dei quali è una soluzione regolare delle equazioni, e li hanno combinati in quella che Martínez-Zoroa chiama una “cascata infinita” che contiene la singolarità cercata. Nel 2023, i due erano già arrivati a dimostrare che una versione delle equazioni di Eulero esplode, ma con una forza esterna “sporca”, non liscia. Lo scoglio rimasto era tenere insieme la singolarità e una forza liscia, ed è esattamente questo il passo che sembra essere stato compiuto. Per capire il contesto: fino a dieci anni fa, racconta Córdoba, nessuno credeva che le equazioni di Navier-Stokes potessero avere singolarità; nel 2013 è arrivata la svolta, quando Thomas Hou (Caltech) e Guo Luo mostrarono che le equazioni di Eulero esplodono in un cilindro con le due metà che girano in senso opposto. Da lì, fino al 2019, c’è stata una serie di risultati che ha convinto la comunità matematica che potesse succedere anche alle equazioni di Navier-Stokes.
Le polemiche OpenAI-Anthropic
Circa un anno fa il matematico Tristan Buckmaster (New York University) ha ripreso in mano quell’approccio insieme a Levent Alpöge, matematico e dipendente di Anthropic, usando vari modelli linguistici tra cui Anthropic’s Claude, OpenAI’s Codex, e GPT-5.6 di OpenAI. Il 15 agosto, i due avrebbero dimostrato che le equazioni di Eulero, la versione semplificata e senza viscosità di Navier-Stokes, esplodono davvero, e questo sarebbe già di per sé un risultato enorme e un passo decisivo verso lo scioglimento del problema completo. La dimostrazione è stata verificata con Lean, prima del 22 agosto, ma la spiegazione in inglese generata dai modelli era quasi illeggibile, e i due stavano riscrivendola passaggio per passaggio per renderla comprensibile ai colleghi.
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Secondo la dichiarazione che Buckmaster ha pubblicato lunedì 7 settembre su Mastodon (e sulla sua pagina alla NYU), nella settimana scorsa le voci sul loro lavoro sarebbero arrivate a OpenAI, che aveva già una squadra sul problema. Da quel momento OpenAI si sarebbe concentrata sul forcing e, nel fine settimana, con un modello interno più avanzato, avrebbe completato il lavoro facendo “esplodere” le equazioni di Navier-Stokes complete, con un solo prompt inviato “negli ultimi giorni, dopo che le informazioni sul nostro lavoro erano arrivate a OpenAI”.
Nella sua versione, la cronologia è questa. Il 3 settembre Buckmaster sente circolare una voce secondo cui ad Anthropic avrebbero fatto una grande scoperta (molto probabilmente era una versione distorta del suo stesso lavoro con Alpöge, che ad Anthropic ci lavora) e, per capirci qualcosa, contatta lui stesso Sébastien Bubeck. Tre giorni dopo è Bubeck a dargli una notizia: OpenAI ha una dimostrazione concorrente, un testo di circa cento pagine intitolato Existence of forced blowup in R3 and T3.
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Buckmaster ha raccontato di una telefonata di domenica 6 settembre con Bubeck e un altro dipendente, sostenendo che OpenAI gli abbia offerto la paternità del risultato in un articolo che avrebbe attribuito la soluzione al modello interno dell’azienda. Le opzioni sul tavolo, secondo la sua versione, erano due: o OpenAI pubblicava il proprio risultato il giorno dopo, oppure Buckmaster scriveva da solo un articolo sulla prova di OpenAI. Alpöge sarebbe invece stato escluso in quanto dipendente di un concorrente. “Voglio che Levent sia tolto dalla lista degli autori”, avrebbe ripetuto due volte Bubeck, aggiungendo che “era così irritante che Levent lavorasse ad Anthropic”. Alla sua minaccia di rivolgersi ai media, la risposta sarebbe stata: “Perché vuoi rovinarti la carriera?”. Il giorno dopo Bubeck gli ha scritto una e-mail per chiedere un’altra telefonata. Buckmaster non gli ha risposto ma, invece di richiamarlo, ha reso pubblica la sua dichiarazione.
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Buckmaster ha detto di non sapere come OpenAI abbia ricostruito così in fretta il loro metodo. Ha chiesto a Bubeck se il modello di OpenAI avesse avuto accesso ai suoi prompt privati a Codex (il modello di OpenAI che lui e Alpöge usavano nel lavoro), ma Bubeck ha negato. Il sospetto non è campato in aria: per gli account individuali di ChatGPT e Codex, i contenuti degli utenti alimentano per impostazione predefinita l’addestramento dei modelli, salvo disattivazione esplicita. Nel suo comunicato OpenAI afferma che né i ricercatori né gli agenti hanno visto in alcun modo il lavoro dei due prima della pubblicazione, e che nessun dato utente specifico è stato consultato per risolvere il problema. Tuttavia, si ammette di non poter escludere che le conversazioni dei due con Codex, rese anonime e mescolate a quelle di tutti gli altri utenti, siano finite nei dati con cui i modelli vengono addestrati e migliorati. OpenAI sostiene inoltre che le dimostrazioni sono molto diverse, e che perfino i risultati su Eulero non coincidono: quello di OpenAI è senza forza esterna, quello di Buckmaster e Alpöge è con forza esterna.
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OpenAI ha dato poi la propria versione dei contatti: avrebbe scritto ai due il 6 settembre, a lavoro finito, per proporre una pubblicazione simultanea e riconoscere la loro priorità in un annuncio congiunto, scoprendo solo allora che avevano risolto Eulero e non Navier-Stokes, e avrebbe quindi riconosciuto loro la priorità su Eulero con forza esterna, congratulandosi. Bubeck ha definito le accuse “false e provocatorie”, ribadendo di aver seguito le norme accademiche e ha promesso una dichiarazione più completa nei prossimi giorni. Lo studioso, in ogni caso, insiste comunque che, in caso di riconoscimento della validità della soluzione, il merito delle idee chiave debba andare a Córdoba e Martínez-Zoroa e quest’ultimo, che ha meno di 40 anni, meriterebbe la Medaglia Fields. Martínez-Zoroa, dal canto suo, l’ha presa con eleganza: “Sarebbe stato bello farlo noi, ma sono molto contento per Tristan”.
(L'originale di questo articolo è stato pubblicato su "MadMaths! Matematica Divulgazione Didattica". Riproduzione autorizzata, tutti i diritti riservati.)
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